高等数学新讲 主讲教师 陈辉   安徽商贸职业技术学院 开课时间 2018-09-01 至 2019-02-14 学习总人数:3438人 视频时长:3:21:39

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  • 课程讨论
  • 课程公告

  《高等数学新讲》是以微积分为主要内容的高等院校理工类专业数学基础课程,为高素质技能型和应用型人才的培养奠定扎实的理论基础。本课程强调知识结构的完整性,淡化抽象概念,使用计算机完成繁杂运算,重视理论的实际应用和开放性问题的拓展启发,穿插数学文化内容,注重培育数学素养。

  课程注重知识逻辑的完整性,力求通过尽可能少的时间、更高的效率让同学们尽可能深刻地理解微积分,而不仅仅是对照例题完成作业,这也使得本课程的讲解与高校现行的大部分微积分课程非常不同,这也是将其称为“新讲”的原因。

欢迎来到高等数学课堂
> 课程介绍
第1章 无穷与极限
> 第1讲 微积分的引入
> 第2讲 初等函数
> 第3讲 无穷带来的困惑
> 第4讲 极限的引入
> 第5讲 两个特殊极限
> 第6讲 无穷大与无穷小
> 第7讲 实数与小数
> 第8讲 函数的连续性
第2章 导数与微分
> 第1讲 导数的引入
> 第2讲 导数的计算
> 第3讲 高阶导数
> 第4讲 隐函数导数
> 第5讲 函数的微分
> 第6讲 计算机计算极限和导数
第3章 导数的应用
> 第1讲 微分中值定理
> 第2讲 洛必达法则
> 第3讲 函数的单调性
> 第4讲 函数图形的凹凸性
> 第5讲 函数的最值及其应用
第4章 积分
> 第1讲 积分的引入(一)
> 第2讲 积分的引入(二)
> 第3讲 积分的计算(一)
> 第4讲 积分的计算(二)
> 第5讲 计算机计算积分
> 第6讲 积分的应用
第五章 常微分方程
> 第1讲 常微分方程的引入
> 第2讲 可分离变量的常微分方程
> 第3讲 线性常微分方程
> 第4讲 二阶常系数微分方程
> 第5讲 计算机求解微分方程
期中测试
期末模拟测试
我校在2018年高教社杯大学生数学建模竞赛中获得优异成绩
2018-11-15 11:00:56

TIM截图20181115110018.png

导数引入与导数的计算作业
2018-11-09 09:52:27

同学们需要在11月12日前完成导数引入与导数的计算两节的作业。不会的问题可以先答疑,不要急于应付随意填写答案,以免影响课程成绩。

第一章作业、练习完成
2018-11-01 17:05:51

结合线下课堂教学进度,第一章内容已经讲解完成,同学们应当在本周(11月4日)前完成第一章的所有练习、作业。

推荐使用UC浏览器
2018-11-01 16:54:09

  课程平台反应APP尚在开发、调试中,近期会上线。学生没有电脑的话先用手机浏览器进行学习,最好下载个UC浏览器,兼容性会好一些,某些手机自带的浏览器兼容性不太好。


TIM截图20181101164733.jpg

第一章第6节 无穷大与无穷小课后作业
2018-10-27 22:39:18

同学们应该在下周五前完成第一章第6节 无穷大与无穷小的课后作业,注意不懂的问题及时答疑。

回答“18205676131”关于函数图像的问题
2018-10-27 22:37:03

sin(x*sin(y))-cos(y*cos(x))=0是一个隐函数,不同的分支上图象在变化,情况较为复杂,大体如下,

untitled.jpg

在线绘制函数图形
2018-10-18 11:32:10

https://www.geogebra.org/graphing

极限引入作业
2018-10-18 11:16:27

请同学们于本周日(10.21,24:00)前完成极限引入一节的课后作业。同时注意答疑,不清楚的问题可以先问。

【对数的发明者】约翰·纳皮尔
2018-10-11 21:34:48

约翰·纳皮尔

约翰·纳皮尔John NapierNeper,1550年2月1日-1617年4月4日),也译作耐普尔,是苏格兰数学家物理学家天文学家。他最为人所熟知的是发明对数,以及滑尺的前身──纳皮尔的骨头计算噐。而且他对小数点的推广也有贡献。纳皮尔出生地在苏格兰爱丁堡的默奇斯顿塔,现在是爱丁堡纳皮尔大学的一部分。



数学贡献

纳皮尔在数学与工程界之外并不很出名,但他在数学应用上的贡献则无庸置疑。对数使得手算变得简单而且快多了,也因此为后来许多科学进步开启了大门。他的著作《极好用对数表的一个描述》(或译作《奇妙的对数规律的描述》,拉丁语Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio)总共有三十七页的解释和九十页的对数表,对于后来的天文学力学物理学占星学的发展都非常重要。

对数

15世纪时,法国数学家许凯和德国数学家施蒂费尔在开展研究工作时产生了发展对数的思想,他们,尤其是后者,对等差数列和等比数列的关系作了一些研究。但他们并没有使其得到更进一步的发展。[1]

一般认为对数于16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵(John Napier)和瑞士工程师比尔吉(Joost Bürgi)发明。比尔吉曾担任过著名天文学家开普勒的助手,因此会经常接触到复杂的天文计算,他也因此产生了化简数值计算的想法。比尔吉受到了施蒂费尔相关工作的影响,他对等差数列和等比数列的关系作出了进一步的研究并于1610年前后发明了对数,但直到10年后(1620年),他才在《等差数列和等比数列表》中对外发布了他的思想。纳皮尔是一位苏格兰贵族,对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角计算的方法,他也产生了发展对数的想法。1614年,他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》[2]上发布了自己的对数表,比比尔吉早了6年。纳皮尔发明的纳皮尔算筹用加减法代替了乘除法,成功简化了乘除法的运算,他的对数被后人称为纳皮尔对数,记法为Nap·logx。[1]

1624年,英国数学家布里格斯的书籍《对数算术》成功出版,书中写有14位常用对数表。布里格斯率先采用了以10为底的常用对数,而现在它已通用。他还制作了正弦和正切的对数表。荷兰数学家兼出版商弗拉克在布里格斯的基础上加以改进,他出版的数个对数表在欧洲迅速普及起来。[1]

17世纪中叶(清朝初年),中国数学家薛凤祚和波兰传教士穆尼阁合作完成了中国最早的对数著作《比例对数表》(又名《历学会通》),对数自此传入中国。[1][3]此书称真数为“原数”,对数为“比例数”。而《数理精蕴》中则称作对数比例:“对数比例乃西士若往·纳白尔所作,以借数与真数对列成表,故名对数表。”中国后来普遍称之为“对数”。

对数对科学的进步有所贡献,特别是对天文学,使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前,它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。

符号

对数符号log出自拉丁文logarithm,最早由1632年意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri)所使用。纳皮尔在表示对数时套用logarithm整个词,并未作简化。1624年,开普勒才把对数符号简化为Log,奥特雷得在1647年也用简化了的Log。1893年,皮亚诺logx及Logx分别表示以e为底的对数和以10为底的对数。1902年,施托尔茨等人以alog.b表示以a为底的b的对数。20世纪初,形成了对数的现代表示\log_\alpha\Nu。为了使用方便,人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN


其他发明

纳皮尔的发明并不局限于对数。Rabdologiae是他发表的另一本论文,里面讨论一种计算乘法的简便方法,并且介绍了后来被称为“纳皮尔棒”或“纳皮尔的骨头”的计算器。在附录里面他解释了另外一种用金属片计算乘法和除法的方法,这是机械计算器滑尺的直接祖先。

另外一个很有用的概念是后来被称为奈培球奈培五角形的数学记忆法,它被用来帮助记忆球面三角里面的公式。

与他同一时代的人还提到许多“秘密发明”,包括一种圆形的驾驶战车,可算是现代坦克车的古早版本。还有能够把敌方战船焚毁的大型镜子,潜水艇,和可以把所有敌兵全部杀光的大炮

神学

纳皮尔把他的数学天分也应用到神学上面去,他根据启示录预言世界末日。纳皮尔相信世界末日将在1688年或者1700年到来。有时候他也被说是个巫师,不过在那个时代,有科学方面才能的人常常被如此指控而没有任何根据。

他逝世后埋葬在爱丁堡的St Cuthbert教堂。罗伯特·纳皮尔(Robert Napier)是他的儿子。

荣誉

电力工程学里面有个很少用到的单位名称,奈培(neper),与爱丁堡纳皮尔大学,都是为了纪念约翰·纳皮尔而命名的。月球上也有个纪念他的纳皮尔火山口

著作

  • Mirifici logarithmorum canonis descriptio》(1614年)

  • Rhabdologia》(1617年)


【数学家之英雄】莱昂哈德·欧拉
2018-10-11 21:29:32

莱昂哈德·欧拉(德语:Leonhard Euler,台湾旧译尤拉,1707年4月15日-1783年9月18日)是一位瑞士数学家物理学家,近代数学先驱之一,他一生大部分时间在俄国普鲁士度过。

欧拉在数学的多个领域,包括微积分图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式,例如函数的记法"f(x)"[3],一直沿用至今。此外,他还在力学光学天文学等学科有突出的贡献。

欧拉是18世纪杰出的数学家,同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者,其学术著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献:“读欧拉的著作吧,在任何意义上,他都是我们的大师”[注 1][4]


生平

早年

第六版10元瑞士法郎正面的欧拉肖像

欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭,父亲保罗·欧拉(Paul Euler)是基督教加尔文宗的牧师,保罗·欧拉早年在巴塞尔大学学习神学,后娶了一位牧师的女儿玛格丽特·布鲁克(Marguerite Brucker),也就是欧拉的母亲。欧拉是他们6个孩子中的长子。在欧拉出生后不久,他们全家就从巴塞尔搬迁至郊外的里恩,在那里欧拉度过了他童年的大部分时光。

欧拉最早是从他的父亲那里接触到一些数学,后来欧拉搬回巴塞尔和他的外祖母住在一起,并在那里开始了他的正式学业,在中学时期,由于欧拉所在的学校并不教授数学,他便私下里从一位大学生那里学习[5]

欧拉13岁时进入了巴塞尔大学,主修哲学和法律[5],但在每周星期六下午便跟当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)学习数学[6] 。欧拉于1723年取得了他的哲学硕士学位,学位论文的内容是笛卡尔哲学和牛顿哲学的比较研究。之后,欧拉遵从了他父亲的意愿进入了神学系,学习神学,希腊语希伯来语(欧拉的父亲希望欧拉成为一名牧师),但最终约翰·伯努利说服欧拉的父亲允许欧拉学习数学,并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。1726年,欧拉完成了他的博士学位论文De Sono,内容是研究声音的传播[7]。1727年,欧拉参加了法国科学院主办的有奖征文竞赛,当年的问题是找出船上的桅杆的最优放置方法。结果他得了二等奖,一等奖为被誉为“舰船建造学之父”的皮埃尔·布格所获得,不过欧拉随后在他一生中一共12次赢得该奖项一等奖[8]

在圣彼得堡

这一时期,约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利尼古拉·伯努利——在位于俄国圣彼得堡俄国皇家科学院工作,在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后(此时距他来到俄国仅一年),丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位,同时推荐欧拉来接替他自己在生理学所空出的职位。欧拉于1726年11月欣然接受了邀请,但并没有立即动身前往圣彼得堡,而是先申请巴塞尔大学的物理学教授,不过没有成功[9]

苏联于1957年发行的邮票,纪念欧拉诞辰250周年。文字内容为:欧拉,伟大的数学家和学者,诞辰250周年。

欧拉于1727年5月17日抵达圣彼得堡,在丹尼尔等人的请求下,科学院将欧拉指派到数学/物理学所工作,而不是起初的生理学所。欧拉与丹尼尔保持着密切的合作关系,并且与丹尼尔住在一起。在1727年至1730年间,欧拉还担任了俄国海军医官的职务[10]

俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建,在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政时期,科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方。科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆,并且只招收非常少的学生,以减轻教授们的教学负担。科学院还非常重视研究,给予教授们充分的时间及自由,让他们探究科学问题[11] 。

凯瑟琳女皇,同时也是科学院的资助者,于欧拉到达圣彼得堡的当天去世。其后彼得二世继位,彼得二世是个软弱的君主,实际权力由俄国贵族掌握。贵族们对科学院的外国科学家心存戒心,于是他们切断了对欧拉及其同事们的财政资助,并且在其它方面找他们的麻烦。

情况在彼得二世去世(1730年)后有所好转,欧拉在科学院的地位迅速得到提升,并于1731年获得物理学教授的职位。两年后,由于受不了在圣彼得堡受到的种种审查和敌视,丹尼尔·伯努利返回了巴塞尔,欧拉于是接替丹尼尔成为数学所所长[12] 。1735年,欧拉还在科学院地理所担任职务,协助编制俄国第一张全境地图。

1734年1月7日,欧拉迎娶了科学院附属中学的美术教师,瑞士人乔治·葛塞尔(Georg Gsell)的女儿,柯黛琳娜·葛塞尔(Katharina Gsell,1707-1773)[13] ,两人共育有13个子女,其中仅有5个活到成年[14] 。

在柏林

东德发行的欧拉逝世200周年纪念邮票。其中展示了欧拉平面图公式V-E+F=2.

考虑到俄国持续的动乱,欧拉在1741年6月19日离开了圣彼得堡,到柏林科学院就职,职位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年,并写下了不止380篇文章。在柏林,他出版了他最有名的两部作品:关于函数方面的文章《无穷小分析引论》,出版于1748年;另一部是关于微分的《微积分概论》,[15] 出版于1755年。[16] 在1755年,他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。

视力恶化

在欧拉的数学生涯中,他的视力一直在恶化。在1735年一次几乎致命的发烧后的三年,他的右眼近乎失明,但他把这归咎于他为圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作。视力在他在德国期间也持续恶化,以至于弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”。欧拉的原本正常的左眼后来又遭受了白内障的困扰。在他于1766年被查出有白内障的几个星期后,导致了他的近乎完全失明。即便如此,病痛似乎并未影响到欧拉的学术生产力,这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力。比如,欧拉可以从头到尾不犹豫地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》,并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。在书记员的帮助下,欧拉在多个领域的研究其实变得更加高产了。在1775年,他平均每周就完成一篇数学论文。[17]

其他

莱昂哈德·欧拉

欧拉年轻时曾研读神学,他一生虔诚、笃信上帝,并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表。有一个广泛流传的传说说到,欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里,挑战当时造访宫廷的无神论德尼·狄德罗:“先生,e^{{i\pi }}+1=0\,,所以上帝存在,请回答!”不懂数学的德尼完全不知怎么应对,只好投降。但是由于狄德罗事实上也是一位有作为的数学家,这个传说有可能属于虚构。

欧拉是史上发表论文数第二多的数学家,全集共计75卷;他的纪录一直到了20世纪才被保羅·埃尔德什打破。后者发表的论文达1525篇[注 2],著作有32部[注 3]。欧拉在他的时代,产量之多,无人能及。欧拉实际上支配了18世纪至现在的数学;对于当时新数学分支微积分,他推导出了很多结果。很多数学的分枝,也是由欧拉所创或因而有了极大的进展。

在1765年至1771年据说是因欧拉双眼直接观察太阳,双眼先后失明。尽管人生最后7年,欧拉的双目完全失明,他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

1783年9月18日,晚餐后,欧拉一边喝着,一边和小孙女玩耍,突然之间,烟斗从他手中掉了下来。他说了一声:“我的烟斗”,并弯腰去捡,结果再也没有站起来,他抱着头说了一句:“我死了”。“欧拉停止了计算生命”。后面这句经常被数学史家引用的话,出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口:“...il cessa de calculer et de vivre”(he ceased to calculate and to live)。

成就

欧拉数学符号引进和推广,并通过他的许多教科书广为流传。最为著名的,是他引进了“函数”的概念,并且第一个将函数的写为f(x),以表示一个以x为自变量的函数。他还介绍了三角函数现代符号,以e表记自然对数的底(现在也称作欧拉数),用希腊字母Σ表记累加和以i表示虚数单位。用希腊字母π来表示一个圆的周长和直径之比也由欧拉普及,但它并不是由他发明。

欧拉建立了弹性体的力矩定律:作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的转动惯量

他还直接从牛顿运动定律出发,建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波

他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人,这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法

数论里他引入了欧拉函数自然数n欧拉函数\phi (n)被定义为小于n并且与n互质的自然数的个数。例如,\phi (8)=4,因为有四个自然数1,3,5和7与8互质。

在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。

在分析领域,是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨微分艾萨克·牛顿流数

他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声:

  • \zeta (2)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {1}{n^{2}}}={\frac  {1}{1^{2}}}+{\frac  {1}{2^{2}}}+{\frac  {1}{3^{2}}}+{\frac  {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac  {\pi ^{2}}{6}}

其中\zeta (s)黎曼函数

欧拉将虚数定义为如下公式

  • e^{{ix}}=\cos(x)+i\sin(x)\,

这就是欧拉公式,它成为指数函数的中心。在初等分析中,从本质上来说,要么是指数函数的变种,要么是多项式,两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式”的则是欧拉公式的一个简单推论(通常被称为欧拉恒等式):

  • e^{{i\pi }}=-1\,e^{{i\pi }}+1=0\,

他在1735年定义了微分方程中的欧拉-马斯刻若尼常数,也是欧拉-麦克劳林求和公式的发现者之一,这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效:

  • \gamma =\lim _{{n\rightarrow \infty }}\left(1+{\frac  {1}{2}}+{\frac  {1}{3}}+{\frac  {1}{4}}...+{\frac  {1}{n}}-\ln(n)\right)

欧拉还发现了公式的 V - e + f = 2 的数量与顶点(Vertex, V),边(edge, e)和面(face, f)的凸多面体,因此,对一个平面图形。此公式中的常数是现在被称为欧拉示性数的图形(或其他数学对象),是有关属的对象。研究和推广这一公式,特别是通过柯西和欧莱雅Huillier,是在原点的拓扑结构。

欧拉在1736年解决了柯尼斯堡七桥问题,并且发表了论文《关于位置几何问题的解法》(Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis),对一笔画问题进行了阐述,是最早运用图论拓扑学的典范。

在1739年,欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamen novae theoriae musicae)》,书中试图把数学音乐结合起来。一位传记作家写道:这是一部“为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的”著作。

在经济学方面,欧拉证明,如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量,在固定规模报酬的情形下,总收入和产出将完全耗尽。

几何学代数拓扑学方面,欧拉公式给出了单连通多面体的边、顶点和面之间存在的关系:

  • F-E+V=2\,

其中,F为给定多面体的面数之和,E为边数之和,V为顶点数之和。这个定理也可用于平面图。对非平面图,欧拉公式可以推广为:如果一个图可以被嵌入一个流形<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;clip: rect(1px, 1px, 1px, 1p

初等函数课后作业
2018-10-11 20:32:23

    根据授课计划安排,同学们需要在本周(10月14日前)完成初等函数章节的课后作业。

请同学们及时完成课程介绍和微积分的引入等章节的学习任务。
2018-10-08 16:24:52

请同学们及时完成课程介绍和微积分的引入等章节的学习任务,也可以在课程讨论中发表在线学习的感受或者意见建议。

高等数学新讲课程上线了
2018-09-28 14:15:42

      亲爱的同学们,经过课程组精心的准备,高等数学新讲课程上线了!就像在课程简介里介绍的那样,本课程注重知识逻辑的完整性,力求通过尽可能少的时间、更高的效率让同学们尽可能深刻地理解微积分,而不仅仅是对照例题完成作业,这也使得本课程的讲解与高校现行的大部分微积分课程非常不同,这也是将其称为“新讲”的原因。

      课程在线学部分主要有观看课程视频学习、课后作业、随堂练习、期中测试和参与在线讨论等部分内容,同学们要注意及时完成。在学习过程中遇到问题可以在课程讨论中留言,授课教师或者热心的同学们会及时回复。如果课程中出现错误请留言指出,我们及时修改,并表示感谢!

     最后,祝愿同学们通过本课程的学习能收获新的知识,对数学有新的认识!




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